Mecánica del Vuelo (III) – Giros y momentos
La siguiente entrada la dedicaré a explicar, después de varias disertaciones, cómo incorporar los momentos y las ecuaciones diferenciales que gobiernan la actitud de la aeronave usando cuaterniones.
La raison d’etrê de los cuaterniones es básica, por un lado, evita la necesidad de construir matrices de giros de senos y cosenos, que son “caras” y poco precisas por antonomasia; por otro lado, la mayoría de los motores gráficos del mercado permiten introducir directamente la actitud en vectores de cuaterniones.
Lo primero es definir los ejes “base” en los que se realizará la integración. Tradicionalmente, la integración de momentos se ha hecho siempre en unos ejes ligados al cuerpo, ya que facilita enormemente la definición de estos. Obsérvese que estos ejes no son inerciales, con lo que será necesario aplicar las ecuaciones primeras que se usaban en la parte (I) de esta serie.
Efectivamente, por regla general:
Siendo H:
y J la matriz de momentos de inercia. La obtención de H y J no es nada trivial, pero bueno si alguna persona está interesada le puedo dejar material, aunque se puede encontrar en cualquier libro de mecánica.
En fin, esto es así siempre que usemos como base un eje inercial, pero como ya hemos dicho, vamos a usar una base no inercial (ejes cuerpo) así que la derivada de H habrá que ponerla como:
Y bueno, esto casí está ya. Las derivas parciales de omega son parciales -> son respecto a los ejes móviles, no los absolutos. Por tanto, podemos definir las velocidades angulares con respecto a los ejes móviles directamente, quedando:
Si ponemos el producto vectorial de omega en forma matricial:
Quedan por tanto tres ecuaciones que, haciendo las matrices y demás, quedan:
Una ecuación diferencial para obtener las velocidades angulares, en ejes locales, frente a los momentos. Nótese que el término Jxy no aparece, ya que por lo general la distribución de masas será simétrica respecto al plano medio del avión, y por otro lado que a la hora de resolver hará falta desacoplar las ecuaciones, que no es ningún problema y se pueden obtener 3 ecuaciones con las derivadas explícitas y preparadas para integrar, mediante sencillas operaciones matriciales.
Pero aún no hemos obtenido los ángulos. Efectivamente, una vez obtenida las velocidades angulares hay que integrar para sacar los ángulos, pero:
- Necesitamos los ángulos en ejes inerciales, globales, con lo que hará falta hacer un cambio de base
- Usaremos cuaterniones. Un vector cuaternión es un vector de 4 componentes donde queda definido perfectamente el el eje sobre el que se gira y la cantidad. En concreto:
Nótese que el vector definido es el de las componentes q1,q2,q3, que no es el cuaternión completo. Se puede demostrar que:
Con lo que ya tendríamos, finalmente, la actitud de la aeronave en todo momento. Un conjunto de 7 ecuaciones diferenciales, con 7 incógnitas; con dos ecuaciones linealmente dependientes entre sí que deben ser integradas junto con las de posición.
Ya prácticamente está acabado el core! Faltan pulir algunos detalles y por fin empezaremos a definir esas “F” o “M” como fuerzas o momentos verdaderos. Hago notar que pocas o casi ninguna concesión se ha hecho de momento; se ha seguido con las ecuaciones completas en 6DoF y además usando un método eficiente como es usar quaterniones para reducir los errores de deriva. Los quaterniones pueden pasarse a ángulos normales (y de hecho tendrá que hacerse en cada iteración para obtener ángulos de ataque, resbalamiento y demás), pero internamente se trabajará siempre con cuaterniones siendo esta la forma más eficiente.
