Mecánica de vuelo (II) – Construyendo la ecuación dinámica

En esta entrada nos vamos a centrar en obtener la ecuación dinámica para la posición. En la próxima definiremos los giros y construiremos las otras tres ecuaciones que nos faltan para tener el sistema mecánico totalmente definido.

Lo primero disculparme por las figuras hechas a mano, pero es más cómodo y rápido para mí escanearlas directamente y ponerlas aquí, que pasar todos los desarrollos a máquina.

En esta entrada no vamos sino a aplicar lo que vimos en la entrada anterior para nuestro caso. El sistema de referencia en el que trabajaremos es el denominado Geográfico, un sistema no inercial donde el origen es el centro de la tierra y el eje X corta con el ecuador y el meridiano de Greenwich; el Z es el norte geográfico y el Y completa el triedro. En la figura siguiente:

Está definido con las primas el SR básico, no inercial a partir del cual referenciaremos el punto donde se encuentra la aeronave. Nuestro X,Y,Z, vamos. La posición se definirá como rx,ry,rz, aunque realmente se podría haber definido directamente como X’,Y’ y Z’. La velocidad en cada eje se define como vx,vy,vz. Ambos, velocidades y posiciones, están definidos en el SR no inercial, ojo. Es decir, en la velocidad NO incluiriamos la velocidad inducida por la rotación terrestre, e ídem con la posición.

Lo bueno de este problema es que el eje Z no varía del SR I al SR G. De esta forma, la velocidad angular omega se puede referenciar en ejes G sin problema ninguno, y no hay que hacer cambios de eje. Si trabajásemos en un sistema de referencia de horizonte local, esto no sería así y haría falta una conversión de ejes de la velocidad angular.

De esta forma, aplicando la ecuación que deducimos el día anterior:

Como el SR G no se desplaza con respecto al inercial, a0 es nulo. De igual forma, la velocidad angular es constante, con lo que la derivada es nula. Hemos también resuelto los productos vectoriales, para llegar finalmente a los vectores que nos interesan.

Si juntamos todo, sale, en formato vectorial:

Las aceleraciones en el SR inercial son a las que se le puede aplicar la segunda ley de newton, pero las que podremos medir son las de G, de forma que, finalmente, aplicando la 2º ley de newton y manoseando un poco las ecuaciones llegamos finalmente:

Que son las ecuaciones que habrá que integrar, junto con la de giros, las cuales deduciremos cuando hayamos definido un SR centrado en la aeronave.

En cualquier caso, estas ecuaciones dinámicas están desacopladas con la de momentos, excepto claro está las fuerzas, que sí suelen depender de la actitud de la aeronave.

Las fuerzas están definidas “en bruto”, a estas intentaremos llegar al final, a través de transformaciones de SR, pero por lo general suelen definirse en ejes de referencia centrados en el cuerpo, excepto la gravedad, que se define en ejes de horizonte local.

Numericamente hablando tendremos además que desmenuzar la ecuación dinámica para obtener sólo derivadas primeras, que son las únicas que entran en un Runge-Kutta. Aunque eso será para el final.

Antes de acabar creo conveniente hacer notar que este primer paso, que puede parecer bastante importante, es obviado por el 90% de los simuladores en el mercado. Los que menos se olvidan de los términdos de la velocidad centrípeta y de Coriollis; la mayoría comienzan simplemente suponiendo que la tierra es plana.

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~ por amalahama en 4 julio, 2008.