Mecánica de Vuelo (I)

Este va a ser un artículo un poco técnico. Aviso desde ya.

Esta vez vamos ha hablar de CÓMO hay que modelar el sistema mecánico de un avión tal y como lo hacen todos los simuladores actualmente en el mercado, más o menos. En este primer capítulo trataremos un poco el tema en general y veremos a que clase de problema nos enfrentamos.

Normalmente se define una aeronave como un sólido rígido, donde todos los puntos materiales mantienen una distancia relativa entre ellos constante. Una suposición tan básica y tan falsa, ya que debido a las fuerzas, la aeronave se deformará y por tanto parte de toda las fuerzas que le llegan serán “absorbidas” por decirlo de alguna forma en generar esas deformaciones. La suposición de que todas las fuerzas son destinadas a mover el objeto es, sin embargo, muy válida y es la que se suele usar por regla general excepto en ocasiones muy contadas donde es necesario acoplar las ecuaciones mecánicas con las elásticas, pero que desde luego requieren una capacidad de cálculo que está fuera de cualquier ordenador actual o futuro para ser realizadas en tiempo real.

Lo primero es definir DONDE está el avión, y para ello es indispensable definir un sistema de referencia. Un sistema de referencia quedá perfectamente definido por un punto origen ( normalmente el punto (0,0,0) ) y un triedro ortogonal. Los sistemas de referencia pueden ser inerciales o no; en el universo realmente no existen sistemas inerciales, ya que todo se mueve respecto a otros objetos y no hay puntos estáticos válidos a tomar, aunque por norma general se hacen simplificaciones, tomando como inerciales sistemas que no lo son en la realidad.

Lo correcto y lo tradicionalmente establecido como exacto, es tomar unos ejes fijos con origen el centro de la tierra, el eje X apuntando al punto de Aries, el eje Z al polo Norte geográfico y el Y completando un triedro a derechas. Este sistema se considera inercial y es la base a partir de la cual derivan los demás sistemas no inerciales.

A partir de este sistema inercial se deriva un segundo sistema similar al anterior, sólo que el eje X ahora apunta al corte del meridiano de Greenwich con el ecuador terrestre, siendo un sistema que gira con una velocidad angular sobre el eje Z constante y coincidente con la velocidad angular terrestre. Este sistema es no inercial, aunque es práctica común considerarlo inercial para efectos de simulación, ya que las aceleraciones que producen los términos centrífugos y de Coriollis son pequeños frente a otra clases de fuerzas, al menos a bajas velocidades (no velocidades orbitales), aunque nosotros, para este simulador, sí se van a tener en cuenta, ya que no aportan demasiada complejidad y sin embargo dá flexibilidad al motor de físicas.

Entonces, supongamos que tenemos un sistema de referencia no inercial y un objeto (avión) moviéndose en el seno de éste, referenciado a este sistema:

El sistema inercial es el designado con las letras mayúsculas, el no inercial con las minúsculas, y el objeto en cuestión del cual queremos obtener su posición, velocidad y aceleración es el punto P. Se observa que:

Si queremos obtener la velocidad respecto al sistema inercial, dR/dt, derivamos:

Sin embargo, al ser r una medida desde el sistema no inercial, se puede transformar la derivada absoluta en una parcial teniendo en cuenta que r=f(omega(t),t), con una expresión demostrable pero que no se hará aquí:

Realmente, la derivada parcial indica la tasa de cambio de r observado desde una persona “fija” en los ejes no inerciales. En realidad, las derivadas de r están ambas referidas a sistemas de referencia diferentes; a la izquierda, son tasas de variación medidas de forma absoluta, a la derecha son relativas vistas desde el SR no inercial.

El segundo sumando introduce la variación de r que la persona que está fija en el SR no inercial no vé: el debido a su propio movimiento (giro). Definiendo v como la variación del vector posición, de forma absoluta, respecto al tiempo, y v0 la tasa de variación de la posición (traslación) del SR no inercial frente al inercial (que será 0 en nuestro caso), obtenemos:

Como queremos obtener las aceleraciones absolutas respecto las relativas, derivamos con respecto al tiempo la expresión anterior, teniendo en cuenta la regla de la cadena y también la expresión que fue usada para relacionar las derivas absolutas con las parciales para derivar de forma absoluta la derivada parcial con respecto al tiempo; se sigue los siguientes pasos:

En la última fila llegamos a la ecuación típica; como dv/dt y dv0/dt son derivadas absolutas, son por tanto aceleraciones totales y la expresión se reescribe como sigue:

En esta expresión se observa que la aceleración total de un cuerpo en ejes inerciales es la suma de:

• Una aceleración relativa lineal a0(t) del SR no inercial respecto al inercial, que en nuestro caso es nulo

• La aceleración de la partícula que vé una persona “fija” al sistema no inercial. Es la aceleración que sufriría por ejemplo un sandwich lanzado dentro de un coche que viaja en linea recta.

• El siguiente término es denominada aceleración angular, y en nuestro caso también es nulo, ya que nuestra omega (la velocidad angular de rotación de la tierra) es constante, y por tanto su derivada es nula

• El tercer término es el comunmente denominado como aceleración de Coriollis

• El último término es la aceleración centrípeta.

En la segunda parte de esta entrega usaremos estas ecuaciones para representar un caso práctico y se verán más sistemas de referencia, esta vez centrados en el cuerpo (la aeronave, en nuestro caso, un F/A-18 )

P.D-> Esta entrada del post la dedico a ‘Misha’ del escuadrón69, fallecido el 29 de Junio de 2008 en un accidente de alpinismo. A parte de ser una gran persona, me gustaría destacar el gran aporte que hizo a este proyecto donando mapas de elevación SRTM corregidos y depurados de las islas canarias además de enseñarme muchos conceptos de cartografía. Muchas gracias amigo, no te olvidaremos.

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~ por amalahama en 3 julio, 2008.